Пусть m  — масса каж­до­го из тел, a  — их уско­ре­ние и T  — сила на­тя­же­ния нити. За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на для коль­ца в про­ек­ции на го­ри­зон­таль­ное на­прав­ле­ние и усло­вие ба­лан­са дей­ству­ю­щих на шарик сил в про­ек­ции на вер­ти­каль Ис­клю­чая из этих урав­не­ний силу T, на­хо­дим, что уско­ре­ние тел равно g.

Ответ: a = g/

Най­дем вна­ча­ле по­тен­ци­ал в цен­тре сферы (при­няв его за нуль в бес­ко­неч­но уда­лен­ной точке) с по­мо­щью прин­ци­па су­пер­по­зи­ции. Рас­пре­де­лен­ные по сфере за­ря­ды уда­ле­ны от ее цен­тра на оди­на­ко­вое рас­сто­я­ние R, по­это­му в ре­зуль­та­те сум­ми­ро­ва­ния их вкла­дов в по­тен­ци­ал в цен­тре сферы по­лу­чим За­ря­ды, рас­пре­де­лен­ные по коль­цу, также рав­но­уда­ле­ны от цен­тра сферы, но на дру­гое рас­сто­я­ние Сум­ми­ро­ва­ние их вкла­дов дает Скла­ды­вая вкла­ды сферы и коль­ца, на­хо­дим, что по­тен­ци­ал в цен­тре сферы равен Чтобы найти по­тен­ци­ал в цен­тре коль­ца, учтем, что поле вне за­ря­жен­ной сферы сов­па­да­ет с полем то­чеч­но­го за­ря­да, по­ме­щен­но­го в ее центр. Сле­до­ва­тель­но, за­ря­жен­ная сфера со­зда­ет в цен­тре коль­ца по­тен­ци­ал По­тен­ци­ал в цен­тре коль­ца, со­зда­ва­е­мый за­ря­да­ми на коль­це, на­хо­дит­ся по прин­ци­пу су­пер­по­зи­ции и равен В итоге, для по­тен­ци­а­ла в цен­тре коль­ца по­лу­ча­ем зна­че­ние Окон­ча­тель­но, для ис­ко­мой раз­но­сти по­тен­ци­а­лов по­лу­ча­ем зна­че­ние

Ответ:

Ско­рость груза от­но­си­тель­но земли равна век­тор­ной сумме ско­ро­сти те­леж­ки и ско­ро­сти груза от­но­си­тель­но те­леж­ки. Из-за вза­им­ной пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти скла­ды­ва­е­мых ско­ро­стей ве­ли­чи­ну ско­ро­сти груза U от­но­си­тель­но земли можно вы­ра­зить по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: где   — ско­рость груза от­но­си­тель­но те­леж­ки. Чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие не­об­хо­ди­мо вы­пол­не­ние не­ра­вен­ства За­пи­сы­вая ко­ле­ба­ния ско­ро­сти груза от­но­си­тель­но те­леж­ки, на­при­мер, в виде

По усло­вию дан­ное не­ра­вен­ство долж­но вы­пол­нять­ся в те­че­ние по­ло­ви­ны пе­ри­о­да, т. е. в пре­де­лах вре­мен­ных ин­тер­ва­лов, где

Зна­че­ние на­хо­дим для гра­ниц этих ин­тер­ва­лов, где

Ответ:

В конце пер­вой и тре­тьей се­кунд по­ле­та тело будет на­хо­дить­ся на одной вы­со­те и иметь оди­на­ко­вую по ве­ли­чи­не ско­рость, на­прав­лен­ную в конце пер­вой се­кун­ды вверх под углом к го­ри­зон­ту и в конце тре­тьей  — вниз под тем же углом к го­ри­зон­ту. Го­ри­зон­таль­ная и вер­ти­каль­ная ком­по­нен­ты ско­ро­сти в эти мо­мен­ты равны по ве­ли­чи­не. В конце вто­рой се­кун­ды тело до­сти­га­ет выс­шей точки тра­ек­то­рии, в ко­то­рой вер­ти­каль­ная ско­рость об­ра­ща­ет­ся в нуль. От­сю­да можно найти, что вер­ти­каль­ная ско­рость равна в на­ча­ле по­ле­та и в конце пер­вой се­кун­ды. Из по­след­не­го на­хо­дим, что го­ри­зон­таль­ная ско­рость равна Таким об­ра­зом, на­чаль­ная ско­рость равна

Ответ:

Пусть m  — масса каж­до­го из тел, a  — их уско­ре­ние и T  — сила на­тя­же­ния нити. За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на для коль­ца в про­ек­ции на го­ри­зон­таль­ное на­прав­ле­ние и усло­вие ба­лан­са дей­ству­ю­щих на шарик сил в про­ек­ции на вер­ти­каль Ис­клю­чая из этих урав­не­ний силу T, на­хо­дим, что уско­ре­ние тел равно g.

Ответ: a = g/

В мо­мент, когда шарик про­хо­дит уро­вень точки под­ве­са, его уско­ре­ние есть век­тор­ная сумма тан­ген­ци­аль­но­го уско­ре­ния, рав­но­го по ве­ли­чи­не g, и нор­маль­но­го уско­ре­ния Из усло­вия, что ве­ли­чи­на пол­но­го уско­ре­ния равна на­хо­дим Учи­ты­вая, что нор­маль­ное уско­ре­ние можно за­пи­сать также через ско­рость ша­ри­ка V как на­хо­дим квад­рат этой ско­ро­сти на уров­не точки под­ве­са: На­чаль­ную ско­рость ша­ри­ка на­хо­дим с по­мо­щью за­ко­на со­хра­не­ния ме­ха­ни­че­ской энер­гии:

Ответ:

В конце пер­вой и тре­тьей се­кунд по­ле­та тело будет на­хо­дить­ся на одной вы­со­те и иметь оди­на­ко­вую по ве­ли­чи­не ско­рость, на­прав­лен­ную в конце пер­вой се­кун­ды вверх под углом к го­ри­зон­ту и в конце тре­тьей  — вниз под тем же углом к го­ри­зон­ту. Го­ри­зон­таль­ная и вер­ти­каль­ная ком­по­нен­ты ско­ро­сти в эти мо­мен­ты равны по ве­ли­чи­не. В конце вто­рой се­кун­ды тело до­сти­га­ет выс­шей точки тра­ек­то­рии, в ко­то­рой вер­ти­каль­ная ско­рость об­ра­ща­ет­ся в нуль. От­сю­да можно найти, что вер­ти­каль­ная ско­рость равна в на­ча­ле по­ле­та и в конце пер­вой се­кун­ды. Из по­след­не­го на­хо­дим, что го­ри­зон­таль­ная ско­рость равна Таким об­ра­зом, на­чаль­ная ско­рость равна

Ответ:

Ам­пер­метр шун­ти­ру­ет под­клю­чен­ный к нему па­рал­лель­но пра­вый верх­ний ре­зи­стор, по­это­му ток через этот ре­зи­стор не течет и его можно ис­клю­чить из схемы. Тогда по­лу­ча­ет­ся, что ам­пер­метр вклю­чен по­сле­до­ва­тель­но с левым верх­ним ре­зи­сто­ром и об­ра­зо­ван­ная ими це­поч­ка под­клю­че­на к ис­точ­ни­ку. От­сю­да на­хо­дим, что ток через ам­пер­метр равен Из-за очень боль­шо­го со­про­тив­ле­ния вольт­мет­ра можно счи­тать, что два ниж­них ре­зи­сто­ра вклю­че­ны по­сле­до­ва­тель­но и об­ра­зо­ван­ная ими це­поч­ка под­клю­че­на к ис­точ­ни­ку. От­сю­да ясно, что на­пря­же­ние на каж­дом из этих ре­зи­сто­ров равно По­сколь­ку вольт­метр вклю­чен па­рал­лель­но пра­во­му ниж­не­му ре­зи­сто­ру, на­пря­же­ние на вольт­мет­ре также равно

Ответ: ток через ам­пер­метр равен на­пря­же­ние на вольт­мет­ре

По­сколь­ку часть воды из со­су­да вы­ли­лась, ее уро­вень будет сов­па­дать с кра­я­ми со­су­да. Из усло­вия пла­ва­ния сле­ду­ет, что объем по­гру­жен­ной части льда равен 200 см³, т. е. лед за­ни­ма­ет 200 см³ объ­е­ма со­су­да. Из со­су­да вы­ли­лось 50 см³ воды, сле­до­ва­тель­но, объем не­за­пол­нен­ной водой части со­су­да (до по­ме­ще­ния в него льда) рав­нял­ся 150 см³. По­де­лив этот объем на пло­щадь дна со­су­да, на­хо­дим ис­ко­мое рас­сто­я­ние - 3,75 см.

Ответ: 3,75 см.

За­пи­сы­вая вто­рой закон Нью­то­на для груза в про­ек­ции на ось, па­рал­лель­ную на­клон­ной грани клина, на­хо­дим, что сила тре­ния равна При сколь­же­нии где   — ко­эф­фи­ци­ент тре­ния, а N  — сила нор­маль­ной ре­ак­ции (в дан­ной за­да­че  — сила дав­ле­ния клина на груз). От­сю­да на­хо­дим, что

За­пи­сы­вая вто­рой закон Нью­то­на в про­ек­ции на ось, пер­пен­ди­ку­ляр­ную на­клон­ной грани клина, на­хо­дим уско­ре­ние груза

Про­ек­ция уско­ре­ния клина на эту ось равна уско­ре­нию груза (груз не от­ры­ва­ет­ся от на­клон­ной грани клина). Сле­до­ва­тель­но, уско­ре­ние клина равно

Ответ:

Из за­ко­на со­хра­не­ния им­пуль­са сле­ду­ет, что сразу после на­ча­ла дви­же­ния ско­ро­сти че­ло­ве­ка и те­леж­ки от­но­си­тель­но земли будут равны и на­прав­ле­ны в про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны: че­ло­век дви­жет­ся к стен­ке, те­леж­ка  — от стен­ки. Вы­брав на­прав­ле­ние го­ри­зон­таль­ной оси x от стен­ки, а ее на­ча­ло сов­па­да­ю­щим с на­чаль­ным по­ло­же­ни­ем ле­во­го конца те­леж­ки, за­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на в про­ек­ции на эту ось для те­леж­ки

и для че­ло­ве­ка

Здесь   — про­ек­ция на ось x силы, с ко­то­рой че­ло­век дей­ству­ет на те­леж­ку,   — про­ек­ция уско­ре­ния те­леж­ки (и че­ло­ве­ка) на эту ось. Скла­ды­вая два урав­не­ния, по­лу­ча­ем урав­не­ние гар­мо­ни­че­ско­го ос­цил­ля­то­ра

Ре­ше­ние дан­но­го урав­не­ния при на­чаль­ных усло­ви­ях и имеет вид

Ско­рость те­леж­ки на­хо­дит­ся как про­из­вод­ная от ко­ор­ди­на­ты по вре­ме­ни, т. е. равна

Про­ек­ция ско­ро­сти че­ло­ве­ка от­но­си­тель­но земли на вы­бран­ную ось равна Ве­ли­чи­на этой ско­ро­сти имеет мак­си­маль­ное зна­че­ние ко­то­рое до­сти­га­ет­ся через пол­пе­ри­о­да после на­ча­ла дви­же­ния, т. е. через время За это время че­ло­век прой­дет по те­леж­ке рас­сто­я­ние Сле­до­ва­тель­но, длина те­леж­ки долж­на быть не мень­ше этого зна­че­ния.

Ответ:

Из за­ко­на Ку­ло­на на­хо­дим рас­сто­я­ния от за­ря­да до за­дан­ных точек на пря­мой (см. ри­су­нок, где рас­сто­я­ния по­ка­за­ны в мет­рах). Рас­сто­я­ние между точ­ка­ми равно 2,5 м. Не­труд­но убе­дить­ся, что

Ответ: 2,5 м; 90°.

Сила F, дей­ству­ю­щая на ин­ду­ци­ро­ван­ный ди­поль со сто­ро­ны по­ляр­ной мо­ле­ку­лы, равна раз­но­сти сил при­тя­же­ния и от­тал­ки­ва­ния, дей­ству­ю­щих со сто­ро­ны по­ляр­ной мо­ле­ку­лы на по­ло­жи­тель­ный (q) и от­ри­ца­тель­ный (–q) за­ря­ды ин­ду­ци­ро­ван­но­го ди­по­ля, т. е. где и E зна­че­ния на­пря­жен­но­сти поля по­ляр­ной мо­ле­ку­лы в точ­ках, где рас­по­ло­же­ны цен­тры со­от­вет­ствен­но по­ло­жи­тель­но­го и от­ри­ца­тель­но­го за­ря­дов. Раз­ность в в силу ма­ло­сти рас­сто­я­ния l между цен­тра­ми за­ря­дов можно пред­ста­вить в виде

По­сколь­ку l также то

Ответ:

На дви­же­нии тени не ска­зы­ва­ет­ся дви­же­ние камня вдоль сол­неч­ных лучей. В на­прав­ле­нии, пер­пен­ди­ку­ляр­ном сол­неч­ным лучам, на­чаль­ная ско­рость камня равна нулю, его уско­ре­ние по­сто­ян­но и равно про­ек­ции уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния, т. e. а ско­рость равна Как видно из ри­сун­ка, ско­рость тени вдоль земли равна и до­сти­га­ет мак­си­му­ма при мак­си­маль­ном t, т. e. в мо­мент па­де­ния камня на землю

Ско­рость тени равна ско­ро­сти камня в мо­мент, когда ка­мень дви­жет­ся па­рал­лель­но земле, т. е. в выс­шей точке его тра­ек­то­рии

Ответ: ско­рость мак­си­маль­на в мо­мент па­де­ния на землю.

За­пи­сы­вая вто­рой закон Нью­то­на для груза в про­ек­ции на ось, па­рал­лель­ную на­клон­ной грани клина, на­хо­дим, что сила тре­ния равна При сколь­же­нии где   — ко­эф­фи­ци­ент тре­ния, а N  — сила нор­маль­ной ре­ак­ции (в дан­ной за­да­че  — сила дав­ле­ния клина на груз). От­сю­да на­хо­дим, что

За­пи­сы­вая вто­рой закон Нью­то­на в про­ек­ции на ось, пер­пен­ди­ку­ляр­ную на­клон­ной грани клина, на­хо­дим уско­ре­ние груза

Про­ек­ция уско­ре­ния клина на эту ось равна уско­ре­нию груза (груз не от­ры­ва­ет­ся от на­клон­ной грани клина). Сле­до­ва­тель­но, уско­ре­ние клина равно

Ответ:

Из урав­не­ния Кла­пей­ро­на-Мен­де­ле­е­ва сле­ду­ет, что после изо­бар­но­го рас­ши­ре­ния газа его тем­пе­ра­ту­ра ста­нет рав­ной В силу мед­лен­но­сти про­цес­са рас­ши­ре­ния такой же будет и тем­пе­ра­ту­ра на­хо­дя­ще­го­ся в со­су­де тела. После сжа­тия газа его тем­пе­ра­ту­ра ста­нет рав­ной а тем­пе­ра­ту­ра тела оста­нет­ся преж­ней по­сколь­ку не успе­ет про­изой­ти теп­ло­об­мен между газом и телом. В ре­зуль­та­те по­сле­ду­ю­ще­го теп­ло­об­ме­на между газом и телом в со­су­де уста­но­вит­ся тем­пе­ра­ту­ра

Ответ:

Длину сво­бод­но­го про­бе­га мо­ле­ку­лы (сред­нее рас­сто­я­ние между двумя по­сле­до­ва­тель­ны­ми со­уда­ре­ни­я­ми) можно оце­нить по фор­му­ле где d  — диа­метр мо­ле­ку­лы, а n  — кон­цен­тра­ция мо­ле­кул (число мо­ле­кул в еди­ни­це объ­е­ма). Кон­цен­тра­цию n можно найти из фор­му­лы где p  — дав­ле­ние, а T  — аб­со­лют­ная тем­пе­ра­ту­ра. При нор­маль­ных усло­ви­ях по­лу­ча­ем Под­став­ляя в фор­му­лу для диа­метр d и кон­цен­тра­цию n, на­хо­дим Взяв теп­ло­вую ско­рость мо­ле­ку­лы воз­ду­ха рав­ной при­мер­но на­хо­дим, что время между по­сле­до­ва­тель­ны­ми со­уда­ре­ни­я­ми мо­ле­ку­лы со­став­ля­ет около

Ответ:

На дви­же­нии тени не ска­зы­ва­ет­ся дви­же­ние камня вдоль сол­неч­ных лучей. В на­прав­ле­нии, пер­пен­ди­ку­ляр­ном сол­неч­ным лучам, на­чаль­ная ско­рость камня равна нулю, его уско­ре­ние по­сто­ян­но и равно про­ек­ции уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния, т. е. а ско­рость равна Как видно из ри­сун­ка, ско­рость тени вдоль земли равна Таким об­ра­зом, уско­ре­ние тени равно Ско­рость тени равна ско­ро­сти камня в мо­мент, когда ка­мень дви­жет­ся па­рал­лель­но земле, т. е. в выс­шей точке его тра­ек­то­рии. Это время равно вре­ме­ни подъ­ема

Ответ:

Ам­пер­метр вклю­чен па­рал­лель­но од­но­му из со­про­тив­ле­ний (шун­ти­ру­ет его), по­это­му ток через это со­про­тив­ле­ние не идет, и его можно ис­клю­чить из цепи.

На­пря­же­ние на вольт­мет­ре равно сила тока через ам­пер­метр

Ответ:

Обо­зна­чим через m и M массы лег­ко­го и тя­же­ло­го шаров со­от­вет­ствен­но. За­пи­шем усло­вие рав­но­ве­сия для ниж­не­го шара в виде где через F обо­зна­че­на сила со сто­ро­ны нити (дна) и учте­но, что дей­ству­ю­щая на шар вы­тал­ки­ва­ю­щая сила равна Для осталь­ной части гир­лян­ды (со­сто­я­щей из лег­ких шаров) усло­вие рав­но­ве­сия имеет вид

Вы­ра­жая из по­след­не­го ра­вен­ства F и под­став­ляя по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в пер­вое ра­вен­ство, на­хо­дим

Ответ: