Всего: 84 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Студент Кикулов взял шарики с газом и соединил их друг с другом в одну цепочку одинаковыми невесомыми пружинками. Газ в шариках легче воздуха, поэтому он закрепил конструкцию за крайний шарик на земле (см. рис.). Студент сбросил камень с высоты верхнего шарика и увидел, что каждую секунду камень пролетает мимо следующего шарика. С какой начальной скоростью он сбросил камень? Размером шарика и начальной длиной пружины пренебречь по сравнению с растяжением любой пружины, ускорение свободного падения — g = 9,8 м/c2.
На второй сверху шарик действуют сила упругости первой пружины 
силы Архимеда, сила тяжести и сила упругости второй пружины 
Следовательно, в состоянии равновесия, для первого шарика верно:
Значит, начальная скорость должна быть такой, чтобы за вторую секунду камень пролетал бы в два раза большее расстояние, нежели за первую:
получим следующее:
т. е. 
С точки зрения пролетающего камня, расстояние между n-м и (n + 1)-м шариками он пролетает за время t = 1 сек. При этом начальная скорость камня, подлетающего к n-му шарику, 
Две одинаковые тележки массы M могут скользить без трения по горизонтальным рельсам. На тележках установлены мачты со спицами, жестко закрепленными под углом
к горизонту. По спицам могут скользить без трения бусины массой m, скрепленные одной нитью. В начальный момент тележки удерживают, затем отпускают. С каким ускорением будут сближаться тележки?
Также, бусинка движется в горизонтальном направлении с ускорением a, так как спица жестко закреплена с мачтой и тележкой, что означает, что система является неинерциальной, проекция горизонтального ускорения вдоль спицы : 
Таким образом, закон Ньютона вдоль спицы для бусины массой m будет выглядеть следующим образом:
Также, проекция горизонтального ускорения a системы на ось, перпендикулярную спице, равно 
:
:
Конструкция, показанная на рисунке, сделана из однородной проволоки и состоит из кольца A радиуса R и равностороннего треугольника B. К точкам C и D подключили напряжение. На каком расстоянии x от точки C должна находиться точка D, чтобы общее сопротивление схемы было максимальным?
Рассмотрим сопротивления Y и Z. Сопротивление Z пропорционально одной трети длины окружности, т. е. 
где 
— сопротивление единицы длины проволоки, R — радиус окружности. Сопротивление Y стороны треугольника можно выразить следующим образом: 
Рассмотрим сопротивление A:
Введем величины z, y и 
и 
Тогда выражение для длины x будет записываться аналогичным образом: 
На картинке (см. рис.) представлен вертикальный разрез полиэтиленовой трубы, подвешенной снизу к жесткому тонкому горизонтальному стержню A. Труба идеально гибкая и полностью заполнена водой. Длина этой трубы и стержня много больше их поперечных размеров, концы трубы герметично закрыты (заклеены). Определите давление в самой нижней точке (B), если расстояние
AB — l. Плотность воды — 
ускорение свободного падения — g, атмосферное давление — p0.
а давление на глубине точки J везде одинаково, поэтому сила давления равна произведению этого давления и площади — DapJ, поэтому записываем условие равновесия так: 
Теперь выразим pJ: 
Теперь осталось добавить к этому давлению гидростатическое давление (за счет разности глубины B и J) и атмосферное давление p0, поскольку мы его пока "принимали за ноль отсчета давлений" (т. е. на самом деле не учли то, что оно действует снизу на JBK. Тем самым, мы должны были бы добавить его уже в правую часть формулы для pJ).
Космонавт массой M выполнял ремонтные работы около космической станции, имеющей форму шара радиуса R. В результате непредвиденных обстоятельств он оказался в точке K (см. рис.), а его средство связи — в точке C, причём KO = 2R, KC = nR. Космонавту необходимо добраться до средства связи, чтобы подать сигнал тревоги; при этом в точке C он должен оказаться неподвижным до окончания спасательной операции. Оттолкнуться космонавту не от чего, но у него есть пистолет с тремя пулями массой m каждая (m << M). Космонавту известно, что пуля вылетает из дула со скоростью V. Стрелять по станции космонавт не имеет права. В каких направлениях он должен произвести каждый выстрел, чтобы справиться с ситуацией? Каково при этом максимальное и минимальное возможное время движения космонавта до C? Гравитационными силами, действующими на космонавта со стороны станции и других космических объектов, пренебречь.
соответствует ситуации, когда космонавт стреляет по касательной к борту). С другой стороны, не имеет смысла стрелять под углом больше 60°: иначе космонавт пролетит мимо точки С, см. рис. 3. 
Треугольник КВС при этом вырождается в отрезок КС (К совпадает с В). Разумеется, стрелять одновременно в двух направлениях невозможно, однако, уменьшая промежуток времени между первыми двумя выстрелами, космонавт сможет выбирать траекторию, в которой точка В сдвигается по окружности влево, уменьшая время движения в пределе вплоть до 
см. рис. 6). В этом случае путь космонавта равен 
а время движения 
максимальное 
Плоское квадратное зеркало со стороной a вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси O, проходящей через его боковую строну (см. рис., вид сверху). На расстоянии a от оси вращения находятся точечный источник света Л и наблюдатель Н. Угол ЛOН равен
Постройте линию, вдоль которой перемещается изображение источника при вращении зеркала. Какую долю периода обращения зеркала наблюдатель видит изображение? Зеркало отражает только одной своей стороной.
Ясно, что наблюдатель начинает видеть изображение лампочки во вращающемся зеркале в тот момент, когда зеркало проходит мимо источника. С другой стороны, из Рис. 3 видно, что заканчивает он его видеть, когда изображение оказывается в диаметрально противоположной относительно него точке. При этом пока наблюдатель видит изображение в зеркале, оно успевает подворачивается на угол 
Таким образом, доля периода, в течение которой наблюдатель видит изображение равна 
то наблюдатель начинает видеть изображение в тот момент, когда зеркало проходит мимо него. Изображение пропадает из его области видимости, опять же когда оно оказывается в диаметрально противоположной от наблюдателя точке, см. Рис. 4. В данном случае зеркало успевает повернуться на угол 
Следовательно, доля периода, в течение которой наблюдатель видит изображение равна
Девочка Маша ходит с постоянной скоростью u = 3 м/с по прямому мосту длиной L = 100 м от одного конца до другого и обратно. Мальчик Саша не спеша ходит за Машей со скоростью v = 1 м/с по тому же мосту. Всякий раз когда Маша проходит мимо Саши, он разворачивается и опять идет в ее сторону. В начальный момент времени Саша и Маша находились у левого конца моста. Где произошла их 3-я встреча (начальный момент не считается)? Каково среднее расстояние между Сашей и Машей за большой промежуток времени.
Между встречами Саша проходит путь 2x, а Маша L. Они делают это за одинаковое время, поэтому можно записать:
а Маша путь 
(см. Рис. 6). Тогда можно отметить, что: 
Тогда 
м. Два одинаковых однородных массивных стержня соединены легким шарниром O. Один из стержней кладут на опору A так, что точка касания делит его в отношении 3:5 (см. рис.). Положение опоры B для второго стержня подбирают таким образом, чтобы система была в положении равновесия, показанном на рисунке (первый стержень горизонтален, второй наклонен под углом
). При каких значениях коэффициента трения между опорами и стержнями это возможно? Трением в шарнире пренебречь.
и 
действующие на стержни со стороны опор A и B, также оказывается целесообразным разложить на вертикальные и горизонтальные составляющие NA и FA, NB и FB, соответственно. Обратите внимание, что в случае опоры B проекции NB и FB не совпадают с силой нормальной реакции опоры и силой трения, соответственно. Для того чтобы получить последние, 
и 
необходимо спроецировать силу 
на оси нормальную и параллельную наклонному стержню. Наконец, на стержни действует притяжение со стороны земли. На Рис. 7 силы F изображены в предположении, что шарнир расталкивает стержни. Противоположный случай будет рассмотрен позже.
Таким образом, из (14) для положения опоры B получаем: где мы для удобства ввели обозначение 
Из последнего выражения видно, при разных значения горизонтальной проекции силы в шарнире F, опору B нужно размещать в разных местах. При этом величина x лежит в интервале [0; L] при любом неотрицательном значении параметра s.
между стержнями и опорами это положение равновесие вообще возможно. В некотором смысле, это “обратная” задача. Обычно в задаче известен коэффициент трения, и необходимо найти, например, действующие в системе силы. Здесь же, напротив, мы сами распоряжаемся силами, а именно, горизонтальной проекцией силы в шарнире F, и пытаемся разобраться, при каких значениях 
не превосходила перпендикулярную составляющую 
умноженную на коэффициент трения:
или, что тоже самое 
Найдем, возможно ли равновесие систем при таких значениях силы F в шарнире и чему должен быть равен при этом коэффициент трения 
Условие отсутствия проскальзывания дает в этом случае
условие (8) выполняется автоматически. Для существования совместного решения неравенств (5) и (8) необходимо
не существует никаких положений равновесия с новыми по сравнению с областью 
в этом случае равны
Электрическая схема, изображенная на рисунке, включена в сеть. Экспериментатор измерил вольтметром напряжения на сопротивлениях R1, R3 и R5. Они оказалось равными U1 = 4 В, U3 = 3 В и U5 = 5 В, соответственно. Определите неизвестные сопротивления Rx и Ry, если R1 = 1 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 3 Ом, R4 = 1 Ом, R5 = 5/3 Ом и R6 = 3 Ом.
а по участку AC — 
Падения напряжения вдоль участков цепи AB и ACB в этом случае равны
Действуя аналогичной предыдущему случаю, для сопротивления получаем:
На столе лежит замкнутая в кольцо труба, внутри которой имеются три одинаковых теплоизолирующих поршня (см. рис.). На поршни может действовать сила сухого трения о стенки, достигающая в случае скольжения максимального значения F = 5 Н. Поршни закрепили так, что они делят кольцо на три одинаковых отсека объёмом V = 24,9 литра каждый. Площадь поршня S = 10 см2. В каждом отсеке находится по одному молю идеального газа. Температура газа в первом отсеке составляет T1 = 300 K. При каких значениях температуры во втором и третьем отсеках T2 и T3 поршни останутся неподвижными, если их освободить? Укажите на графике с осями T2, T3 все возможные точки (T2, T3), при которых поршни не сдвинутся. Универсальная газовая постоянная R = 8,3 Дж/Моль·K.
второе — вертикальную полосу, а вместе они “вырезают” квадрат 
чтобы получить искомый график.Система, изображенная на рисунке, состоит из длинного бруса с вбитым гвоздём, кубика и соединяющей их пружины. В нерастянутом состоянии длина пружины 12 см. Кубик может скользить по брусу без трения. Первоначально система неподвижна и находится в равновесии. Брус начинают двигать горизонтально с ускорением a: сначала, в течение 1 секунды, ускорение бруса направлено влево, затем, в течение следующей секунды, его ускорение направлено вправо, затем – снова влево и т. д. При этом оказалось, что кубик совершает относительно бруска колебания с периодом T = 2 с, отклоняясь за этот период от начального положения по одному разу в обе стороны на 1 мм. Опыт повторяют, взяв такую же пружину, но в 4 раза длиннее. Найдите длину пружины через 2 минуты после начала движения.
(k — жёсткость пружины), т. е. в точку с координатой 
При этом кубик начинает смещаться в это новое положение равновесия, проскакивает его по инерции вправо и продолжает далее колебательное движение на пружине по гармоническому закону с амплитудой 
(см. рис. 1). К началу второй секунды кубик расположится, таким образом, в некоторой точке x1, так что расстояние между x1 и y1 будет не превышать 
т. е. 
(где-то в интервале, охватываемом на рисунке 1) фигурной скобкой, помеченной ”колебания за первую секунду”.
Кубик теперь колеблется вокруг этой точки с амплитудой x1 − y2 (и располагается где-то внутри интервала, обозначенного на рисунке как ”колебания за вторую секунду”).
При дальнейшем движении кубик также будет к моменту ”переключения” направления силы инерции возвращаться в точку x0, что соответствует условию задачи (см. рис. 2). Максимальное отклонение кубика в каждую сторону 
равно по условию 1 мм.
Действительно, под действием той же силы удлинённая в 4 раза пружина растягивается как суммарно четыре исходных пружины под действием той же силы, т. е. в 4 раза сильнее исходной; это как раз и, значит, что жесткость удлинённой пружины в 4 раза меньше жёсткости исходной. Положения равновесия теперь будут сдвигаться при ”переключении” силы инерции относительно начального положения на величину 
т. е. в точки 
Значит, к началу второй секунды кубик совершит только полколебания и окажется в точке 
с нулевой скоростью. В этот момент положение равновесия переместится в точку 
так что амплитуда следующего колебания составит 
К началу третьей секунды кубик снова успеет совершить лишь полколебания, а в момент, когда он окажется в точке x2 = −8 мм, положение равновесия переместится в точку y1.На столе лежит замкнутая в кольцо труба, внутри которой имеются три одинаковых теплоизолирующих поршня (см. рис.). На поршни может действовать сила сухого трения о стенки, достигающая в случае скольжения максимального значения F = 5 Н. Поршни закрепили так, что они делят кольцо на три одинаковых отсека объёмом V = 24,9 литра каждый. Площадь поршня S = 10 см2. В каждом отсеке находится по одному молю идеального газа. Температура газа в первом отсеке составляет T1 = 300 K. При каких значениях температуры во втором и третьем отсеках T2 и T3 поршни останутся неподвижными, если их освободить? Укажите на графике с осями T2, T3 все возможные точки (T2, T3), при которых поршни не сдвинутся. Универсальная газовая постоянная R = 8,3 Дж/Моль · K.
второе — вертикальную полосу, а вместе они “вырезают” квадрат 
и 
выделяя шестиугольную ячейку, закрашенную на рисунке черным. Тонкостенные металлические цилиндры вложены друг в друга. Все цилиндры имеют одну ось, расположенную перпендикулярно плоскости рисунка. Радиусы соседних цилиндров отличаются на
а радиус самого тонкого равен 
количество цилиндров велико. Каждый цилиндр зарядили, так что плотность заряда всех поверхностей равна по модулю 
а знак заряда чередуется: первый, самый маленький цилиндр, заряжен отрицательно, следующий, второй по размеру, — положительно и т. д. Найдите напряженность в области между n-тым и n + 1-ым цилиндром, считая, что n велико.
По теореме Гаусса эта величина равна 
где Q — заряд исследуемой системы, попавший внутрь выбранной нами поверхности. В данном случае i-тый цилиндр вносит внутрь нашей поверхности заряд, равный по модулю 
так что
на n. Тогда при четных n получим 
при нечетных n получим 
здесь мы также пренебрегаем единицей по сравнению с n.
На схеме изображён в масштабе автомобиль (вид сверху). В точках А и Б шарнирно закреплены края зеркал бокового вида; в точке Т — середина зеркала заднего вида. В каком положении должен зафиксировать водитель зеркала, чтобы, наблюдая из точки В, он видел:
1) в левое зеркало точку К, и то, что находится как можно левее от неё;
2) в правое зеркало точку М, и то, что находится как можно правее от неё.
3) в зеркало заднего вида отрезок МК целиком (все допустимые положения).
Приведите на схеме правильное положение зеркал. Обоснуйте построение.
Электротележка движется по дороге со скоростью V. На задней колёсной оси жёстко закреплена квадратная токопроводящая рамка со стороной 2a. При движении колёс рамка вращается (см рис.), располагаясь в однородном магнитном поле индукции B, направленном вдоль скорости тележки. Для торможения в цепь рамки включают сопротивление. При какой величине сопротивления R колеса не будут проскальзывать при торможении? Коэффициент трения колеса о дорогу
масса автомобиля m, нагрузка на все колёса одинаковая. Радиус колеса r, сопротивлением рамки и массой колеса пренебречь.
где 
— угловая скорость вращения рамки.
где S = 4a2 — площадь рамки.
Вращательный момент, тормозящий колесо, будет равен для каждого отрезка 
а для обоих отрезков — в два раза больше. Подставляя Fa и I, найдём суммарный момент силы Ампера, вращающий рамку (и колесо вместе с ней) 
при 
т. е. в моменты, когда рамка горизонтальна.
так что суммарный момент силы трения не превосходит 
L-образная лестница АОВ не очень крепкая и может сломаться в точке О, развалившись на два куска, АО и ОВ. Известно, что это происходит, если короткую сторону лестницы АО закрепить на полу, а к длинной стороне, на высоте h над полом приложить горизонтальную силу не меньше, чем F0 (см. левый рис.). Лестницу положили на пол, как показано на правом рисунке, и по ней из точки А медленно двинулся человек массы m. Он благополучно миновал точку О и дошёл до точки В. При каком угле АВО это возможно? Длина отрезка АВ известна и равна l. Трением между полом и лестницей, а также весом лестницы пренебречь.
). Условие того, что лестница не вращается как единое целое относительно точки В даёт:
Этот момент пытается вращать всю лестницу по часовой стрелке. Ему противодействуют моменты двух остальных сил, N2 и mg, приложенные к другому отрезку лестницы. Суммарный момент сил N2 и mg тоже равен M (но направлен против часовой стрелки). Очевидно, как и в первом случае, каждый из моментов M, приложенных к разным отрезкам лестницы, занимается тем, что ”пытается превратить” прямой угол лестницы в тупой. Компенсировать друг друга они могут только пока каждый из них не превзойдёт Mкр.
Как раз в этот момент человек находится в точке О. Чтобы он не сломал лестницу в этот момент, нужно, чтобы выполнялось M < Mкр, т. е. неравенство 
откуда
Очевидно, наше неравенство при этом не меняется, как не меняется и ответ. Отметим, что искать решение неравенства можно через квадратное уравнение относительно 
Однажды баллон, содержащий 
молей некоторого идеального газа, прохудился, и газ стал очень медленно вытекать из него. К счастью, баллон хранится в герметичном хранилище, потолок которого представляет собой поршень массой m = 1 тонна и может свободно подниматься, увеличивая объём хранилища. Каждый раз, когда поршень достигает высоты H = 10 м, срабатывает предохранитель, благодаря чему температура содержимого хранилища уменьшается на 
Первоначально температура в хранилище была равна T0 = 300 K, высота поршня над полом пренебрежимо мала; мала также начальная концентрация газа вне баллона. Сколько раз сработает предохранитель к моменту, когда весь газ вытечет из баллона? На какой высоте окажется поршень в конце? Считайте, что между моментами, когда срабатывает предохранитель, температура в хранилище неизменна. Газ идеальный, над поршнем вакуум. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с2.
С другой стороны, давление идеального газа подчиняется уравнению p = nkT0. Газ постепенно вытекает из баллона и число его молекул под поршнем N возрастает, но концентрация n при этом постоянна (за счёт того, что растёт V ) и равна фиксированному значению
но давление поршня p останется тем же, причём 
Поэтому после остывания концентрация газа n, при которой поршень с ним в равновесии, станет равна новой фиксированной величине
где z — целое число, показывающее, сколько раз сработал предохранитель. В конце весь газ вытечет из баллона под поршень, то есть число молекул газа там окажется равным 
Это произойдёт после какого-то числа z срабатываний предохранителя:
откуда делаем вывод, что предохранитель сработает 183 раза. Конечная температура при этом окажется равной Tк = 300 − 183 = 117 K. Отсюда по уравнению Клапейрона-Менделеева выражается конечный объём системы и высота поршня в этот момент:
По вертикальному стержню могут без трения скользить массивные бусинки. Илон Маск отпустил с некоторой высоты бусинку и измерил её скорость сразу после отскока от земли. Значение скорости показалось ему не впечатляющим. Тогда Илон нанизал на стержень N бусинок разной массы и отпустил их с той же высоты. Все бусинки начали падение одновременно. Нижняя ударилась о землю, а остальные — друг о друга. Измерив скорость самой верхней бусинки сразу после отскока, Илон Маск обнаружил, что эта скорость в z 800 раз больше, чем в первом опыте. В результате эта бусинка улетела в космос, что весьма впечатлило Илона. Какое минимальное количество бусинок ему пришлось использовать во втором опыте? Все удары абсолютно упругие. Размерами бусинок пренебречь. Сопротивлением воздуха и стоимостью эксперимента пренебречь.
Седрик Диггори при нырянии использовал заклинание головного пузыря, чтобы создать вокруг головы шарообразную область, содержащую постоянное число молей воздуха. Нырнув на глубину H = 10 м, Седрик обнаружил, что видит подводный мир расплывчато. Чтобы скомпенсировать это, ему пришлось наложить на поверхность головного пузыря оптическое заклинание силой D = 1,3 диоптрии. Заклинание добавляет на поверхность пузыря собирающую линзу с фокусным расстоянием 1/D в направлении взгляда Седрика. Заклинание какой силы придется наколдовать Диггори, если он решит нырнуть на глубину 2H? Считайте, что давление внутри головного пузыря равно давлению воды. У поверхности воды доля объёма в головном пузыре, приходящаяся на газ, составляла k = 3/4 (1/4 объёма пузыря занимала голова Седрика). Температура внутри пузыря, а также состав газовой смеси и её количество поддерживаются постоянными магически. Коэффициент преломления воды постоянный. Плотность воды
g = 10 м/с2, атмосферное давление p0 = 105 Па.
где углы 
отсчитываются от радиуса ОВ. В приближении параксиальных лучей это равенство можно записать в виде 
так как при малых углах 
Аналогично, из треугольника BB′F отрезок 
Используем 
получим
действительно оказалось, что все лучи с произвольными 
поэтому искомая оптическая сила D′ на глубине 2H
Диод — электрический элемент, изображаемый на схеме стрелочкой, который может находится в одном из двух состояний: «диод открыт» или «диод закрыт». Диод открывается, если приложить к нему напряжение, направленное по стрелке, которое превышает U0 (эта величина называется «напряжением открытия диода»). При этом ток, идущий через диод, установится такой, чтобы напряжение на открытом диоде упало до U0. Если приложить к диоду напряжение против стрелки, либо напряжение меньше U0, диод будет «закрыт», то есть разомкнёт схему. Некоторые диоды изготовлены так, чтобы светиться в открытом состоянии, такие элементы называют «светодиодами». На рисунке представлена схема, состоящая из двух сопротивлений R = 1 Ом, светодиода D1 и двух диодов D2 и D3. Напряжение, при котором открывается каждый диод, известны и равны, соответственно U1 = 1 В, U2 = 2 В, U3 = 4 В. Постройте график зависимости тока, идущего через схему, от приложенного к ней напряжения. Отметьте на графике токи, при которых светодиод будет светиться.
такой что 
он показывает, насколько напряжение в цепи превышает то, при котором в схеме установился режим с одним открытым диодом.
(при этом падение напряжения на D1 как раз составит U1 = 1 В). Ток в цепи в этом режиме 
(в последнем равенстве мы учли R = 1 Ом).
сравняется с U2 = 2 B, то есть при 
при 
и совпадает с полным током схемы, ток через правое сопротивление R перестаёт меняться и равен 1 A.
Распределение потенциалов в схеме в этот момент представлено на рис. 5. Полный ток в схеме в этот момент составляет 3 А (диод D3 открылся, но ток через него ещё не течёт, ток через диод D2 равен 2 А).
(параметр 
показывает, насколько напряжение в цепи больше порогового значения 5 В, при котором начался этот режим). Распределение потенциалов установим, зная что на D2 и D3 падает 2 и 4 вольта. Из рис. 6 видно, что светодиод в этой ситуации закроется, ведь напряжение на нём оказывается менее
потечёт и через D2, а ток, текущий через правое сопротивление 
потечёт и через D3. Вместе они составят полный ток в цепи в этом режиме 
Видно, что при сколь угодно малом 
ток в цепи будет более 4 A. То есть в цепи в момент включения этого режима происходит скачок тока.