Всего: 155 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Вопрос. Точка движется по окружности радиуса R. Как связаны между собой ее угловая скорость, линейная скорость и ускорение?
Задача. В некотором механизме ведущая шестеренка радиуса R вращается с угловой скоростью Ω. Эта шестеренка приводит в движение шестеренку меньшего радиуса, равного r. Шестеренки вращаются без проскальзывания. На ободе каждой шестеренки поставлена метка. В момент времени t = 0 эти метки соприкоснулись. Через какое время относительная скорость этих меток в первый раз станет равной нулю? Чему в этот момент будет равняться их относительное ускорение?
причем вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности, а вектор ускорения направлен к центру окружности. Величина такого «центростремительного» ускорения 
если 
Вопрос. Вольтамперная характеристика элемента электрической цепи — это зависимость протекающего через него тока от приложенного напряжения. У обычного резистора это зависимость 
и ее график — прямая линия. У некоторых элементов эта зависимость имеет более сложный вид, и соответствующие графики криволинейны. Предположим, у Вас есть два таких элемента. Предложите алгоритм, с помощью которого по графикам вольтамперных характеристик двух элементов можно построить график вольтамперной характеристики их последовательного соединения.
Задача. Электронная управляющая схема должна потреблять ток 
мА.
Во-вторых, напряжение на стабилизаторе совпадает с напряжением на аккумуляторе и схеме, и по закону Ома для участка цепи с ЭДС 
нужно построить прямую 
Точка их пересечения и определяет значение неизвестных. Как видно из левого графика, ток в цепи с одним стабилизатором 
что не подходит для схемы. 
с вольт-амперной характеристикой последовательного соединения двух стабилизаторов, которая строится по алгоритму, разработанному в процессе ответа на вопрос (она построена на правом графике). Из правого графика находим, что в этом случае ток через схему 
то есть ситуация действительно «исправится». Впрочем, можно отметить, что точка пересечения лежит на участке «крутого склона» вольт-амперной характеристики пары стабилизаторов, что не очень хорошо: небольшие колебания ЭДС аккумулятора приведут к довольно заметным колебаниям тока в цепи.
Вопрос. Однородный кубик массы m лежит на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между кубиком и поверхностью 
Как нужно действовать, чтобы заставить кубик оторваться от поверхности, вращаясь вокруг одного из своих ребер, используя минимальную по величине силу? Чему равна эта минимальная величина силы? Ответ объяснить.
Задача. Центр масс управляемой тележки расположен точно посередине между осями двух пар ее колес (расстояние между которыми равно 
— иначе ведущие колеса начинают проскальзывать. Чему равен коэффициент трения ее колес о плоскость? Каким будет максимальный угол наклона плоскости, на которой тележка сможет ехать вверх с постоянной скоростью, если пустить ее так, что ведущие колеса будут спереди? Каким станет максимальный возможный угол подъема, если заменить покрышки колес другими, имеющими ту же массу, но с коэффициентом трения о поверхность 
Трением качения для пары колес, не являющихся ведущими, пренебречь.
относительного ребра, являющегося осью вращения, был больше момента силы тяжести (в момент начала вращения кубик опирается на поверхность именно этим ребром, и момент сил нормальной реакции и трения относительно этого ребра равен нулю). При заданном моменте сила будет минимальна, если ее плечо максимально. Как нетрудно догадаться, «переворачивающая» сила будет иметь максимальное плечо, если приложить ее к противоположному ребру, направив перпендикулярно диагонали вертикального квадратного сечения (см. рисунок). Если a — длина ребра кубика, то условием начала «переворота» является 
поэтому 
выполняется при
угол, при котором начнется проскальзывание, больше 45°. Однако в этом случае нужно также проверить, что тележка не будет опрокидываться, то есть что 
(передние колеса не отрываются от поверхности). Как видно из формулы для N2, это выполняется при 
при движении ведущими колесами вперед тележка может въехать на склон с углом наклона не более 
при замене покрышек на имеющие коэффициент трения 
Вопрос. Как построить изображение светящейся точки в плоском зеркале?
Задача. Робот «Мотылек» (М) ищет вокруг себя светящиеся объекты и едет к первому из тех, которые «увидел». Если он «увидит» одновременно два или более светящихся объекта, он выбирает себе цель случайным образом. М находится в углу зала размером 
м.
симметричную М относительно зеркала. Пусть M сместился от начального положения на расстояние x м. 
сместилась на это же расстояние в противоположную сторону, поэтому область, которую «видит» M через зеркало, находится между прямыми, проведенными из 
поэтому момент времени, в который M увидит лампочку №1 соответствует 
проходящей через край зеркала, и линии движения 2. Эта точка удаляется от 2 со скоростью 
с плоскостью ширмы находится от стены на расстоянии 
после начала движения. Максимальная оценка за решение задачи: 20 технических балов. Максимальная сумма технических баллов за работу на теоретическом туре: 100.Вопрос. По реке плывет плот и рядом с ним управляемая модель катера. Что потребует меньшего расхода энергии — отвести модель от плота на 10 м по течению или на такое же расстояние против него? Ответ объяснить.
Задача. Мячик, брошенный в воду, проплывает по реке от пристани А до пристани В за время 
мин,
мин.
(по течению модель относительно берега движется со скоростью 
Следовательно,
Вопрос. Известно, что углы можно измерять не только в градусах, но и в радианах (рад). Величина угла в радианах равна отношению длины дуги, отсекаемой этим углом на окружности радиуса R, к радиусу:
(таким образом, угол 360° равен 
и линейная скорость V?
Задача. В некотором механизме ведущая шестеренка радиуса R вращается с угловой скоростью ω. Эта шестеренка приводит в движение шестеренку меньшего радиуса, равного r. Шестеренки вращаются без проскальзывания. На ободе каждой шестеренки поставлена метка. В момент времени t = 0 эти метки соприкоснулись. Через какое время эти метки в первый раз будут двигаться во взаимно-перпендикулярных направлениях?
а длину пройденной дуги можно выразить через угол поворота 
Поэтому 
рад. Значит, искомое время находится из уравнения 
откуда 
Вопрос. Какую минимальную высоту должно иметь плоское зеркало, висящее вертикально, чтобы человек ростом
Задача. Электронная мышка (ЭМ) испускает свет во все стороны. Глаза электронной кошки (ЭК) — фотоэлементы, настроенные на этот свет. ЭМ и ЭК находятся в противоположных углах зала размером 
м.
расположенную зеркально симметрично положению ЭК (точка К) и провести лучи, идущие из половины зала, где находится ЭМ в точку 
и попадающие на поверхность зеркала (два крайних таких луча показаны на рисунке). Ясно, что ЭК будет видеть ЭМ только из тех точек ее прямолинейной траектории, которые лежат между этими лучами (на участке CD). Точка C центр половины зала с ЭМ, поэтому 
Для нахождения 
обозначим смещение на этом отрезке вдоль «ширины» зала x м (см. рис.). С учетом соотношения D и L смещение вдоль «длины» зала составит 
причем 
а из подобия треугольников К'FE и К'BD следует, что 
то
после начала движения и будет ее видеть в течение времени 
Вопрос. Что такое момент силы? В чем состоит правило рычага?
Задача. Однородный кубик покоится на горизонтальной поверхности. Робот-«бульдозер» давит на него «ковшом» в горизонтальном направлении на центр одной из боковых граней (перпендикулярно этой грани), медленно увеличивая величину силы давления. Кубик пришел в движение, когда сила достигла величины 
Н.
При этом нужно различать силы, вращающие тело вокруг точки опоры в разные стороны. Правило рычага состоит в том, что моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке и против нее, в состоянии покоя должны быть уравновешены. Можно также договориться, например, что все моменты сил, вращающих тело против часовой стрелки, положительны, а вращающие по часовой стрелке — отрицательны. Тогда правило рычага можно сформулировать так: сумма моментов сил, приложенных к покоящемуся телу, равна нулю.
символом b (это как раз плечо силы нормальной реакции), длину ребра кубика — a, и запишем условия равновесия (равенство нулю проекций сил на оси x и y, а также правило рычага):
При нарушении первого требования кубик начнет скользить, а при нарушении второго поворачиваться вокруг дальнего ребра. В данном случае при увеличении силы давления первым нарушается условие отсутствия проскальзывания, и 
Следовательно, 
Энкодер определил, что угол поворота ведущих колес робота за некоторое время составил 1440°. У робота две пары колес: задние (ведущие) — радиусом
1.1. Чему может быть равен путь, пройденный роботом за это время?
1.2. Как зависит пройденный роботом путь s (при заданной величине угла поворота ведущих колес ϕ) от коэффициента трения колес о поверхность μ? Например, если s1 — путь, пройденный при значении коэффициента трения 
а s2 — при 
и той же величине угла поворота, то что больше: s1 или s2?
1.3. Если пройденный роботом путь равен
1.4. Допустим, что аэродинамический профиль робота — нейтральный (то есть при его движении не возникает ни прижимающей, ни подъемной силы), а сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату его скорости. У нас есть несколько таких роботов одинаковой формы, одинаковых размеров и массы, с одинаковыми колесами, но с разной полезной мощностью двигательной установки. Они разгоняются до максимальной скорости по одной и той же длинной горизонтальной поверхности. Всегда ли окажется, что робот с более мощным двигателем разгонится до большей скорости, или это может быть не так? Ответ объяснить.
то есть ведущие колеса совершили 4 оборота, и в отсутствие проскальзывания 
—
где коэффициент 
зависит только от размеров и формы робота. Максимальная скорость определяется из условия 
то есть 
ведущие колеса проскальзывают, и максимальная скорость определяется из условия 
1.3) примерно 1146°; 1.4) не всегда — может быть, что роботы с разной мощностью двигателя разгонятся до одинаковой скорости.Робот оснащен датчиком освещенности, который измеряет световую энергию, попадающую в маленькое «входное окно» датчика. Источником света служит небольшая по размерам лампочка, испускающая свет одинаково во всех направлениях.
1.1. Пусть робот движется прямо на лампочку, и при этом датчик направлен на лампочку (то есть плоскость входного окна развернута перпендикулярно этому направлению). За пять секунд показания датчика увеличились в
1.2. Робот останавливается на некотором расстоянии от лампочки и начинает вращаться на месте. При каком направлении датчика (по отношению к лампочке) показания датчика во время этого вращения максимальны? Во сколько раз уменьшится измеряемая датчиком освещенность, если он повернется на угол 60° от этого направления?
1.3. Пусть теперь робот движется по прямой, проходящей на расстоянии 
м
1.4. Робота и лампочку поместили на одинаковом расстоянии Когда труба направлена на лампочку, датчик показывает освещенность I0. Во сколько раз отличаются от I0 показания датчика в момент, когда труба направлено на изображение лампочки в зеркале? Во сколько раз эти показания будут отличаться от I0, если поместить на расстоянии
м
потока падающей на них световой энергии для всех углов падения.
и изменяется при повороте от направления на лампу пропорционально косинусу угла поворота, находим, что общий закон изменения интенсивности света 
а для испытавших два — это 
Кроме того, нужно учесть уменьшение интенсивности из-за отражений. Поэтому 
paзa; 1.2) показания датчика максимальны, когда он направлен точно на лампочку. При повороте на угол 60° от этого направления показания уменьшаются в два раза; 1.3) это формула 
1.3) это формула 
меньше 
в 
paзa, а I2 меньше I0 в 
раза.Роботу, у которого обе пары колес являются ведущими, одинаковы по размерам и снабжены одинаковыми шинами, предстоит въехать по наклонной плоскости длиной
1.1. При какой минимальной величине коэффициента трения между шинами и поверхностью плоскости это возможно?
1.2. Если заблокировать колеса и смазать плоскость маслом (чтобы трение стало пренебрежимо мало), то для плавного медленного подъема по плоскости к роботу необходимо прикладывать силу
1.3. Расстояние между осями передних и задних колес робота 
больше найденного в пункте 3.1.
1.4. Пусть двигатель робота развивает постоянную мощность P, и он начинает подниматься по наклонной плоскости с почти нулевой начальной скоростью. Сначала он движется с постоянным ускорением, но после достижения некоторой «критической» скорости его ускорение начинает уменьшаться. Объясните это поведение ускорения. Для мощности, равной
и 
проекция длины плоскости на горизонталь равна 
(достаточно вспомнить о «египетском треугольнике). Перпендикулярная поверхности составляющая силы тяжести, как видно из построения, равна 
и она уравновешивается силой реакции поверхности N (то есть именно она прижимает робота к поверхности).
и сила отталкивания колес робота от поверхности должна быть не меньше этой силы. С другой стороны, сила отталкивания не может быть больше максимальной силы трения покоя, примерно равной силе трения скольжения 
Значит, для того, чтобы робот мог заехать на наклонную поверхность, должно выполняться неравенство 
кг. Отсюда находим, что масса робота 
кг.
(нужно рассмотреть «критический» случай, когда ЦМ находится точно над точкой опоры, и воспользоваться подобием получившихся треугольников). Следовательно, 
которая не зависит от скорости. Поэтому и ускорение робота от скорости не зависит (ускорение создается результирующей силой, которая направлена вдоль плоскости и равна разности силы отталкивания и 
При этом часть мощности P расходуется на выделение тепла при проскальзывании. Но, когда возрастающая скорость достигает величины, при которой 
то вся мощность идет на разгон робота, и поэтому далее проскальзывание прекращается и сила отталкивания определяется из соотношения 
то 
1.2) 2,5 кг; 1.3) не более 6 см; 1.4) критическая скорость 0,5 м/с.Робота можно снабдить датчиком, который может различать цвета. На самом деле световое излучение — это разновидность электромагнитных волн, причем разные цвета отличаются друг от друга длиной волны (это расстояние между двумя «гребнями» волны). В таблице приведена связь между длиной волны в нанометрах
| красный | оранжевый | желтый | зеленый | голубой | синий | фиолетовый |
| 625–740 нм | 590−625 нм | 565−590 нм | 500−565 нм | 485−500 нм | 440−485 нм | 380−440 нм |
«Белый цвет» — это примерно равномерная смесь всех этих цветов. Например, радуга — оптическое явление, в котором солнечный цвет, преломляясь в каплях воды и отражаясь от них, разделяется на составляющие его цвета.
1.1. Если разделить поверхность диска радиусами на семь одинаковых секторов и раскрасить каждый сектор в один из цветов радуги, а затем привести диск в очень быстрое вращение (настолько, чтобы глаз совершенно не различал отдельных секторов), то что должен увидеть наблюдатель, смотрящий на диск «сверху» (при этом диск освещается тоже сверху)?
1.2. Допустим, что мы изготовили пластину из специального сорта стекла, обладающего следующими характеристиками: электромагнитное излучение с длинами волн от
1.3. Каким будет цвет пластины по показаниям датчика, установленного на роботе 2?
1.4. Тепловое излучение также называют «инфракрасным» — это тоже разновидность электромагнитных волн, но с длинами волн от
Датчик цвета, естественно, не может определить цвет инфракрасного излучения, но в современной оптике используются преобразователи излучения, удваивающие частоту излучения (частота — величина, обратная периоду колебаний электромагнитного поля в волне; отметим, что длина волны в точности соответствует расстоянию, которое свет проходит за один период). Допустим, что на входе датчика цвета поставлено два таких преобразователя, и датчик определяет цвет двух нагретых тел как желтый и голубой. Чему примерно равны температуры этих тел?
*Здесь используется абсолютная температура T, измеряемая по шкале Кельвина. В этой шкале за начало отсчета принят «абсолютный ноль» — температура, при которой прекращается тепловое движение молекул. Градус этой шкалы 
К.
и 
то есть около 2%. Значит, и температуры определены примерно с такой же точностью, то есть «плюс-минус» 25 К, поэтому разумное округление ответа — с точностью до десятков Кельвин.Вопрос. На горизонтальной поверхности лежит доска, на которой покоится небольшой брусок массы 
Доску быстро сместили вдоль нее самой по поверхности на расстояние 
м/с2.
Задача. Модель бульдозера должна вытеснить за пределы поля небольшую коробку. Скорость модели направлена перпендикулярно краю поля, а ковш повернут на угол 
относительно этого края (см. рисунок). Начальное расстояние от коробки до края поля 
Найдите координату x точки, в которой коробка пройдет край. Во сколько раз отличаются количества теплоты, выделившиеся из-за трения между ковшом и коробкой и между коробкой и полом? Коэффициент трения коробки о пол 
Коробка движется поступательно и не отрывается от ковша. Скорость модели постоянна.
Итак, 
Дж.
Значит, коробка скользит по ковшу. Поэтому результирующая сила 
направлена под углом 
к силе 
то есть под углом 
к перпендикуляру к краю поля. Значит, 
равна по величине силе трения коробки о пол 
Тогда 
Вопрос. На сколько процентов нужно изотермически уменьшить объем идеального газа, чтобы его давление возросло на
Задача. В конструкции специализированного робота используется акселерометр (датчик ускорения) следующей конструкции: в гладкой герметичной горизонтальной трубке, заполненной газом, находится небольшой поршень. В отсутствие ускорения поршень располагается точно посередине трубки. При появлении продольного ускорения поршень смещается. На испытаниях робот двигался с ускорением 
м/с2,
и при этом смещение поршня составило 
мм.
мм
С каким продольным ускорением двигался робот? Ответ нужно получить с ошибкой менее 2%.
Поэтому, если 
то 
то есть для увеличения давления на 25% нужно уменьшить объем на 20%. Аналогично для 
получается 
Выразив силы давления из первых двух соотношений и подставив их в третье, получим связь ускорения и смещения: 
Поэтому в знаменателе можно пренебречь 4x2 по сравнению с 
и тогда 
Значит, точность полученной формулы при разумных значениях параметров акселерометра значительно лучше требуемой. Таким образом, для разных значений температуры и ускорения 
Вопрос. Электродвигатель, работающий от источника постоянной ЭДС, поднимает по очереди два разных груза. Сила тяги двигателя пропорциональна силе тока, текущего в обмотке. Для первого груза эта сила тока меньше, чем для второго. Какой из грузов поднимается с большей установившейся скоростью? Ответ объяснить.
Задача. Двигатель робота работает от аккумулятора с ЭДС 
А
Если 
то 
то есть установившаяся скорость больше при меньшем токе. Значит, большая скорость у первого груза.
причем, поскольку 
Во тором случае при установившемся движении сила тяги уравновешивает силу трения скольжения, то есть 
Исключая из уравнений энергетического баланса сопротивление контура обмотки, получаем: 
Вопрос. При каких условиях можно наблюдать явление полного внутреннего отражения?
Задача. В оптической системе робота используется так называемый планарный световод, представляющий собой плоскопараллельную пластинку толщиной
значение. Такое возможно, если луч выходит из оптически более плотной среды с показателем преломления n1 в оптически менее плотную с 
и угол падения превышает по величине «угол полного внутреннего отражения» 
Ясно, при выполнении этого условия все остальные лучи, образующие пучок, также не выйдут из пластинки через ее искривленную поверхность. На рисунке видно, что 
Из записанных соотношений находим, что 
Вопрос. На горизонтальной поверхности лежит доска, на которой покоится небольшой брусок массы Доску быстро сместили вдоль нее самой по поверхности на расстояние
Задача. Модель бульдозера должна вытеснить за пределы поля небольшую коробку. Скорость модели направлена перпендикулярно краю поля, а ковш повернут на угол 
относительно этого края (см. рисунок). Начальное расстояние от коробки до края поля Найдите координату x точки, в которой коробка пройдет край. Во сколько раз отличаются количества теплоты, выделившиеся из-за трения между ковшом и коробкой и между коробкой и полом? Коэффициент трения коробки о пол Коробка движется поступательно и не отрывается от ковша.
Дж.
Значит, коробка скользит по ковшу. Поэтому результирующая сила 
Вопрос. На сколько процентов нужно изотермически уменьшить объем идеального газа, чтобы его давление возросло на 20%? А на 0,4% (ответ дайте с точностью до 0,1%)?
Задача. В конструкции специализированного робота используется акселерометр (датчик ускорения) следующей конструкции: в гладкой герметичной горизонтальной трубке, заполненной газом, находится небольшой поршень. В отсутствие ускорения поршень располагается точно посередине трубки. При появлении продольного ускорения поршень смещается. На испытаниях робот двигался с ускорением 
и при этом смещение поршня составило 
мм.
мм
С каким продольным ускорением двигался робот? Ответ нужно получить с ошибкой менее 2%.
то 
то есть для увеличения давления на 20% нужно уменьшить объем на 16,7%. Аналогично для 
получается 
Вопрос. Электродвигатель, работающий от источника постоянной ЭДС, поднимает по очереди два разных груза. Сила тяги двигателя пропорциональна силе тока, текущего в обмотке. Для первого груза эта сила тока меньше, чем для второго. Какой из грузов поднимается с большей установившейся скоростью? Ответ объяснить.
Задача. Двигатель робота работает от аккумулятора с ЭДС 
А
м/с.
Вопрос. При каких условиях можно наблюдать явление полного внутреннего отражения?
Задача. В оптической системе робота используется так называемый планарный световод, представляющий собой плоскопараллельную пластинку толщиной
