Будем ре­шать за­да­чу в общем виде, когда массы гру­зов равны m (груз №1) и M (груз №2). Найдём по­ло­же­ние, когда грузы вот-вот по­едут в сто­ро­ну груза M. Тогда сила тре­ния покоя равна силе тре­ния сколь­же­ния. Обо­зна­чим силу на­тя­же­ния нити T, ре­ак­ции опор N₁ и N₂. Длина нити от блока (т. е. от оси вра­ще­ния) до пер­во­го груза равна z₁, тогда длина нити от блока до вто­ро­го груза равна Важно от­ме­тить, что z₁ не может быть мень­ше 0 или боль­ше L. Имеем си­сте­му урав­не­ний:

Ре­ше­ни­ем яв­ля­ет­ся

Если по­ло­жить, что грузы по­едут в сто­ро­ну груза №1 (надо по­ме­нять знаки перед в си­сте­ме урав­не­ний), то ре­ше­ни­ем будет

Для за­дан­ных в усло­вии со­от­но­ше­ний грузы оста­нут­ся не­по­движ­ны­ми, если по­ло­же­ние пер­во­го груза z₁ будет удо­вле­тво­рять не­ра­вен­ствам

Ответ:

Пер­вое, что не­об­хо­ди­мо ука­зать в ре­ше­нии, что во­ро­бей яв­ля­ет­ся дви­жу­щей­ся си­сте­мой от­сче­та, по­это­му зна­че­ния и на­прав­ле­ния ско­ро­стей, ко­то­рые он на­блю­да­ют  — яв­ля­ют­ся от­но­си­тель­ны­ми.

Можно рас­смот­реть за­да­чу в си­сте­ме от­сче­та во­ро­бья, где он по­ко­ит­ся на месте, а на него летит ядро:

По­лу­ча­ем от­но­си­тель­ную ско­рость:

где   — на­чаль­ная ско­рость ядра,   — ско­рость во­ро­бья,   — ско­рость, ко­то­рую на­блю­да­ет во­ро­бей.

В дан­ной си­сте­ме от­сче­та все фор­му­лы бал­ли­сти­ки будут спра­вед­ли­вы для на­чаль­ной ско­ро­сти в част­но­сти за­ви­си­мость ко­ор­ди­нат от вре­ме­ни:

В усло­вии ска­за­но, что во­ро­бей услы­шал звук вы­стре­ла из пушки через время t₁, зна­чит, рас­сто­я­ние от пушки до во­ро­бья можно вы­ра­зить, как рас­сто­я­ние, ко­то­рое пре­одо­ле­ва­ет звук за дан­ное время. Так как ско­рость во­ро­бья много мень­ше ско­ро­сти звука, то можно пре­не­бречь из­ме­не­ни­ем ско­ро­сти звука при пе­ре­хо­де в дан­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат. Тогда

Те­перь свя­жем от­но­си­тель­ную и соб­ствен­ную ско­рость через про­ек­ции:

Те­перь найдём на каком рас­сто­я­нии при­зем­лит­ся ядро от пушки. В дан­ной си­сте­ме от­сче­та век­тор на­чаль­ной ско­ро­сти со­от­вет­ству­ет

Ответ:

На II участ­ке ко­эф­фи­ци­ент угла на­кло­на мень­ше, чем на I и III участ­ке, в связи с плав­ле­ни­ем льда. Зна­чит, на I участ­ке про­ис­хо­дит про­цесс на­гре­ва льда и свин­ца, но без плав­ле­ния. Зна­чит, уро­вень воды под­ни­ма­ет­ся толь­ко за счет за­ли­ва­е­мой воды:

На II участ­ке из­ме­не­ние уров­ня воды идет за счет за­ли­ва­е­мой воды и плав­ле­ния льда:

По­лу­ча­ем массу льда  г. На­чаль­ный объём со­от­вет­ству­ет объёму свин­ца и льда:

По­лу­ча­ем массу свин­ца  г. Найдём те­перь на­чаль­ную тем­пе­ра­ту­ру воды из теп­ло­го ба­лан­са на II участ­ке:

По­лу­ча­ем на­чаль­ную тем­пе­ра­ту­ру воды  °С, Найдём те­перь на­чаль­ную тем­пе­ра­ту­ру льда и свин­ца из теп­ло­го ба­лан­са на I участ­ке:

По­лу­ча­ем на­чаль­ную тем­пе­ра­ту­ру льда

Ответ:  г;  г;

1)  У школь­ни­ка не по­лу­чи­лось пра­виль­но из­ме­рить за­ви­си­мость, по­то­му что внут­ри ко­роб­ки про­вод за­мкнул­ся. Ми­ни­маль­ная длина воз­мож­на в том слу­чае, если за­мкнут­ся кон­так­ты на кон­цах, по­лу­чим такую схему со­еди­не­ния ре­зи­сто­ров:

При па­рал­лель­ном со­еди­не­нии ре­зи­сто­ров общее со­про­тив­ле­ние вы­счи­ты­ва­ет­ся:

По­лу­ча­ем квад­ра­тич­ную за­ви­си­мость от рас­сто­я­ния между кон­так­та­ми, как и на нашем гра­фи­ке.

Удоб­но взять зна­че­ния в точ­ках пе­ре­се­че­ния кле­ток

Решая дан­ную си­сте­му урав­не­ний, по­лу­ча­ем ми­ни­маль­ную длину  м.

2)  Те­перь рас­смот­рим си­ту­а­цию, когда про­вод длины L скру­чен N раз:

Крас­ны­ми точка от­ме­че­но дви­же­ние вто­ро­го кон­так­та.

В слу­чае, если мы дви­жем­ся по пер­во­му участ­ку, то дан­ная за­да­ча никак не от­ли­ча­ет­ся от пер­вой. Будет такая же квад­ра­тич­ная за­ви­си­мость со­про­тив­ле­ния от длины.

Но после пе­ре­хо­да на вто­рой уча­сток, у нас будет по­сле­до­ва­тель­ное со­еди­не­ние пер­во­го ко­леч­ка и вто­ро­го. Вклад от пер­во­го будет фик­си­ро­ван­ным и рав­нять­ся а за­ви­си­мость у вто­ро­го будет такая же, как у пер­во­го. По­лу­ча­ет­ся, что общее со­про­тив­ле­ние будет их сум­мой. Далее будет про­ис­хо­дить то же самое. При пе­ре­хо­де на сле­ду­ю­щие ко­леч­ки, вклад от преды­ду­щих будет фик­си­ро­ван­ным и рав­нять­ся По­лу­ча­ет­ся гра­фик «на­сту­па­ю­щих друг на на друга па­ра­бол:

Шаг по оси х со­от­вет­ству­ет и мак­си­мум L, шаг по оси со­от­вет­ству­ет и мак­си­мум После до­сти­же­ния мак­си­му­ма все идёт сим­мет­рич­но в об­рат­ную сто­ро­ну.

Ответ:  м см. гра­фик.

Рас­смот­рим ход лучей от дома и опре­де­лим раз­мер изоб­ра­же­ния на фо­то­гра­фии. Пусть вы­со­та дома равна h, а вы­со­та изоб­ра­же­ния равна b. Тогда из по­до­бия тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ет­ся со­от­но­ше­ние:

Для по­лу­че­ния са­мо­го боль­шо­го раз­ме­ра изоб­ра­же­ния сле­до­ва­ло бы вы­брать Но при таком вы­бо­ре рас­сто­я­ний может ока­зать­ся, что раз­ре­ше­ние фо­то­гра­фии будет пло­хим. Ка­че­ство изоб­ра­же­ния будет за­ви­сеть от раз­ме­ра от­вер­стия: чем оно боль­ше, тем боль­ше будет раз­мы­тие изоб­ра­же­ния. Рас­смот­рим какую-ни­будь точку дома и по­смот­рим, в какое пятно раз­ме­ра c оно будет про­еци­ро­вать­ся на фо­то­плёнку. Снова из по­до­бия по­лу­чим урав­не­ние, свя­зы­ва­ю­щее по­ряд­ки рас­сто­я­ний:

Под­ста­вим в урав­не­ние (2) вы­со­ту изоб­ра­же­ния, най­ден­ную из урав­не­ния (1):

Чтобы две точки дома были раз­ли­чи­мы, они долж­ны пе­рей­ти в две точки изоб­ра­же­ния, от­сто­я­щие друг от друга на рас­сто­я­нии ми­ни­мум c. Если рас­сто­я­ние между точ­ка­ми дома по­ряд­ка то на изоб­ра­же­нии они будут на рас­сто­я­нии опре­де­ля­е­мом из по­до­бия:

Тогда ми­ни­маль­но раз­ли­чи­мые де­та­ли на фа­са­де дома опре­де­ля­ют­ся со­от­но­ше­ни­ем c, от­ку­да, под­став­ляя зна­че­ния и с из урав­не­ние (3) и (4) по­лу­ча­ем

Пре­не­брежём раз­ме­ром ка­ме­ры по срав­не­нию с рас­сто­я­ни­ем от от­вер­стия до дома. Тогда урав­не­ние (5) пе­ре­пи­шет­ся как

Из урав­не­ния (5) видно: чем боль­ше раз­мер изоб­ра­же­ния, тем хуже его ка­че­ство, то есть ко­ли­че­ство де­та­лей, раз­ли­чи­мых на фото. Оце­ним ве­ли­чи­ны урав­не­ния (5).

За при­ем­ле­мый раз­мер фо­то­гра­фии возьмём раз­мер по­ряд­ка  см. За раз­мер от­вер­стия возьмём  мм  — такой его раз­мер не­слож­но по­лу­чить под­руч­ны­ми сред­ства­ми. За вы­со­ту дома возьмём Тогда рас­сто­я­ние между раз­ли­чи­мы­ми де­та­ля­ми на доме со­ста­вит  см. При этом рас­сто­я­ние между этими де­та­ля­ми на изоб­ра­же­нии со­ста­вит  м, а рас­сто­я­ние от ка­ме­ры до дома  м. Раз­ре­ше­ние плёнки, таким об­ра­зом, поз­во­ля­ет улуч­шить ка­че­ство ито­го­во­го изоб­ра­же­ния. Этого можно до­бить­ся пре­ци­зи­он­ным про­из­вод­ством от­вер­стия: если сде­лать его раз­мер по­ряд­ка 100 мкм, то раз­ре­ше­ние изоб­ра­же­ния будет пре­дель­ным, а раз­мер раз­ли­чи­мых на доме де­та­лей со­ста­вит при про­чих вы­бран­ных дан­ных около 20 см.

Ответ:

1)  Окру­жим трубу во­об­ра­жа­е­мым ци­лин­дром с вы­со­той, рав­ной глу­би­не водоёма, и осью, сов­па­да­ю­щей с тру­бой. По усло­ви­ям за­да­чи ско­рость воды в каж­дой точке водоёма на­прав­ле­на вдоль ра­ди­у­са ци­лин­дра и за­ви­сит толь­ко от рас­сто­я­ния от рас­смат­ри­ва­е­мой точки до оси, то есть не за­ви­сит от рас­сто­я­ния до дна и от угла по­во­ро­та во­круг оси.

Рас­смот­рим точку, на­хо­дя­щу­ю­ся на рас­сто­я­нии r и ци­линдр та­ко­го же ра­ди­у­са. Ско­рость на каж­дой точке бо­ко­вой грани этого ци­лин­дра равна по мо­ду­лю v(r). Найдём эту ско­рость из за­ко­на со­хра­не­ния массы. Масса, ко­то­рая по­сту­па­ет в этот ци­линдр из внеш­не­го ис­точ­ни­ка через трубу за время Δt равна QρΔt, где ρ — плот­ность жид­ко­сти. Так как жид­кость не­сжи­ма­е­ма, плот­ность воды одна и та же в любой точке водоёма. Масса, вте­ка­ю­щая в ци­линдр через трубу, равна массе воды, вы­те­ка­ю­щей через бо­ко­вую по­верх­ность ци­лин­дра. Из этого усло­вия по­лу­ча­ем ра­вен­ство:

От­ку­да по­лу­ча­ем за­ви­си­мость ско­ро­сти жид­ко­сти от рас­сто­я­ния до трубы:

Найдём те­перь закон дви­же­ния се­меч­ка, упав­ше­го в на­чаль­ный мо­мент на жид­кость на рас­сто­я­нии R от трубы. Пе­ре­пи­шем урав­не­ние (3) не­мно­го по-дру­го­му, ис­поль­зуя опре­де­ле­ние мгно­вен­ной ско­ро­сти

Из урав­не­ния (4) легко по­лу­чить за­ви­си­мость t(r), уви­дев, что дан­ное урав­не­ние яв­ля­ет­ся пол­ным ана­ло­гом урав­не­ния дви­же­ния с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­ем урав­не­ния (4) яв­ля­ет­ся за­ви­си­мость

Из этой за­ви­си­мо­сти легко по­лу­чить за­ви­си­мость r(t):

По­сто­ян­ную t₀ на­хо­дим из на­чаль­но­го усло­вия и по­лу­ча­ем ответ  — за­ви­си­мость рас­сто­я­ния се­меч­ка от вре­ме­ни:

Дви­жет­ся оно всё время вдоль ра­ди­у­са на­ше­го во­об­ра­жа­е­мо­го ци­лин­дра.

2)  Рас­смот­рим узкую труб­ку тока жид­ко­сти у по­верх­но­сти водоёма.

На по­верх­но­сти жид­ко­сти не про­ис­хо­дит скач­ка дав­ле­ния, то есть дав­ле­ние жид­ко­сти p сразу под по­верх­но­стью равно ат­мо­сфер­но­му. Если бы ра­вен­ства дав­ле­ний жид­ко­сти и воз­ду­ха по обе сто­ро­ны от по­верх­но­сти жид­ко­сти до­стиг­ну­то бы не было, то эле­мент по­верх­но­сти жид­ко­сти дол­жен был бы на­чать сме­щать­ся по нор­ма­ли к по­верх­но­сти. Од­на­ко те­че­ние у по­верх­но­сти на­прав­ле­но все­гда по ка­са­тель­ной к по­верх­но­сти.

Для того, чтоб опре­де­лить форму труб­ки, за­пи­шем для труб­ки тока урав­не­ние Бер­нул­ли:

Левая часть ра­вен­ства за­пи­са­на для точки тока, на­хо­дя­щей­ся на рас­сто­я­нии r от трубы, а пра­вая для бес­ко­неч­но удалённой точки: в ней уро­вень воды равен дан­ной глу­би­не водоёма а ско­рость те­че­ния равна нулю. Таким об­ра­зом, форма по­верх­но­сти

За­ме­тим, что при от­да­ле­нии от трубы уро­вень жид­ко­сти по­вы­ша­ет­ся к зна­че­нию

Ответ: 1) 2)

Изоб­ра­зим цикл дан­ной ма­ши­ны в P−V ко­ор­ди­на­тах:

За­пи­шем урав­не­ние Мен­де­ле­е­ва-Кла­пей­ро­на для мак­си­маль­ной и ми­ни­маль­ной тем­пе­ра­ту­ры:

Вы­ра­зим ра­бо­ту в дан­ном цикле:

Те­перь вы­ра­зим ко­ли­че­ство по­лу­ча­е­мой теп­ло­ты в дан­ном цикле:

По­лу­ча­ем, что КПД:

Вве­дем обо­зна­че­ние и тогда:

Мак­си­мум этой функ­ции по па­ра­мет­ру x можно найти любым спо­со­бом (на­при­мер, взя­ти­ем про­из­вод­ной или упро­ще­ни­ем вы­ра­же­ние и при­ме­не­ни­ем не­ра­вен­ства Коши).

Мак­си­мум КПД по­лу­ча­ет­ся при

Ответ: 1,84.

Пол­ный ток, про­те­ка­ю­щий через цепь, равен сумме токов I_n, ко­то­рые про­те­ка­ют через зве­нья линии. На­пря­же­ние на ре­зи­сто­ре № n равно Таким об­ра­зом,

В урав­не­нии (1) сум­ми­ро­ва­ние надо про­из­во­дить с до где целое N опре­де­ля­ет­ся не­ра­вен­ства­ми

что можно пе­ре­пи­сать как

где функ­ция [x] округ­ля­ет x до бли­жай­ше­го це­ло­го вверх. Поль­зу­ем­ся сле­ду­ю­щи­ми фор­му­ла­ми для сум­ми­ро­ва­ния:

и по­лу­ча­ем из урав­не­ния (1) с под­ста­нов­кой N из фор­му­лы (3) зна­че­ние вольт-ам­пер­ной ха­рак­те­ри­сти­ки дан­ной схемы:

При можно по­ло­жить и пре­не­бречь чле­на­ми по­ряд­ка еди­ни­цы около (так как так что вольт-ам­пер­ной ха­рак­те­ри­сти­кой для боль­ших на­пря­же­ний будет сле­ду­ю­щее вы­ра­же­ние:

Ответ:

Введём ось y, на­прав­лен­ную вверх с нулём на уров­не под­бра­сы­ва­ния ша­ри­ка. За­пи­шем урав­не­ние дви­же­ния для ша­ри­ка (оно спра­вед­ли­во пока ско­рость ша­ри­ка на­прав­ле­на вверх):

Тут   — пока не­из­вест­ный ко­эф­фи­ци­ент про­пор­ци­о­наль­но­сти между силой и квад­ра­том ско­ро­сти. По­про­бу­ем оце­нить его ме­то­дом раз­мер­но­стей.

Этот ко­эф­фи­ци­ент дол­жен за­ви­сеть от гео­мет­рии ша­ри­ка и от свойств воз­ду­ха. В нашей за­да­че всего три па­ра­мет­ра, от ко­то­рых может за­ви­сеть этот ко­эф­фи­ци­ент: плот­ность воз­ду­ха (чем плот­нее воз­дух, тем, ка­жет­ся на пер­вый взгляд, слож­нее через него ле­теть), вяз­кость воз­ду­ха (чем боль­ше ко­эф­фи­ци­ент вяз­ко­сти, тем боль­ше сила со­про­тив­ле­ния) и раз­мер ша­ри­ка (у боль­ше­го ша­ри­ка боль­шая сила со­про­тив­ле­ния, так как он вза­и­мо­дей­ству­ет с боль­шей пло­ща­дью и объёмом воз­ду­ха).

Таким об­ра­зом, Раз­мер­ность ко­эф­фи­ци­ен­та, с одной сто­ро­ны, вос­ста­нав­ли­ва­ет­ся из урав­не­ния (1)  — его про­из­ве­де­ние с квад­ра­том ско­ро­сти имеет раз­мер­ность силы. C дру­гой сто­ро­ны, раз­мер­ность ко­эф­фи­ци­ен­та по­лу­ча­ет­ся пе­ре­мно­же­ни­ем раз­мер­но­стей (в со­от­вет­ству­ю­щих сте­пе­нях) па­ра­мет­ров, от ко­то­рых он за­ви­сит. Мы за­ра­нее не знаем, как вы­ра­жа­ет­ся β через па­ра­мет­ры (R, η, ρ), по­это­му по­ло­жим, что Тогда для раз­мер­но­стей будет сле­ду­ю­щее со­от­но­ше­ние:

Вос­ста­нав­ли­вая раз­мер­ность из вы­ра­же­ния (1) и под­став­ляя раз­мер­но­сти осталь­ных ве­ли­чин в вы­ра­же­ние (2), по­лу­ча­ем:

Так как в нашей си­сте­ме еди­ниц еди­ни­цы кг, м и с не­за­ви­си­мы друг от друга, мы можем из урав­не­ния (3) со­ста­вить 3 урав­не­ния, при­рав­ни­вая сте­пе­ни перед кг, м и с со­от­вет­ствен­но в левой и пра­вой ча­стях урав­не­ния. Тогда мы по­лу­чим

Решая эту си­сте­му, по­лу­ча­ем ко­эф­фи­ци­ен­ты

то есть урав­не­ние дви­же­ния пе­ре­пи­шет­ся в виде

где C  — не­ко­то­рая кон­стан­та по­ряд­ка еди­ни­цы, ко­то­рую мы не можем по­лу­чить ме­то­дом раз­мер­но­стей.

По­де­лим урав­не­ние (6) на массу ша­ри­ка, по­счи­тан­ную как объём, по­мно­жен­ный на плот­ность ша­ри­ка. Чис­ло­вую кон­стан­ту ко­то­рая по­ряд­ка еди­ни­цы, мы пи­сать не будем, по­то­му что это не до­ба­вит точ­но­сти от­ве­ту: все кон­стан­ты по­ряд­ка еди­ни­цы «сидят» внут­ри кон­стан­ты C.

Из урав­не­ния (7) видно, что не­точ­ность из­ме­ре­ния уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния будет по­ряд­ка где V  — не­ко­то­рая ха­рак­тер­ная ско­рость дви­же­ния шара. По­ло­жим её рав­ной на­чаль­ной ско­ро­сти дви­же­ния, ко­то­рую можно по­лу­чить из вы­со­ты подъёма в выс­шую точку: (двой­кой в ко­неч­ном от­ве­те тоже, ко­неч­но, пре­не­брежём). Для подсчёта от­ве­та возьмём

Тогда  кг/м³:

Ответ:

1)  За­да­чу можно рас­смат­ри­вать в рам­ках тер­мо­ди­на­ми­ки, по ана­ло­гии с трёхмер­ным иде­аль­ным газом. Тогда на­чаль­ное со­сто­я­ние, в ко­то­ром каж­дая шайба дви­га­лись с оди­на­ко­вы­ми по мо­ду­лю ско­ро­стя­ми, сле­ду­ет на­звать не­рав­но­вес­ным со­сто­я­ни­ем. А со­сто­я­ние дву­мер­но­го газа шайб через боль­шое время  — рав­но­вес­ным. По­ми­мо этого, сле­ду­ет за­ме­тить, что дву­мер­ный газ шайб  — иде­аль­ный газ, так как все со­уда­ре­ния про­ис­хо­дят упру­гим об­ра­зом. Также можно вве­сти по­ня­тия сте­пе­ней сво­бо­ды для каж­дой шайбы. У каж­дой шайбы есть три сте­пе­ни сво­бо­ды: две по­сту­па­тель­ных и одна вра­ща­тель­ная  — во­круг оси шайбы. В про­цес­се пе­ре­хо­да в тер­мо­ди­на­ми­че­ское рав­но­ве­сия шайбы будут стал­ки­вать­ся, рас­пре­де­ляя сум­мар­ную на­чаль­ную энер­гию всех шайб по сте­пе­ням сво­бо­ды каж­дой шайбы.

По тео­ре­ме о рав­но­рас­пре­де­ле­нии энер­гии по сте­пе­ням сво­бо­ды можно за­клю­чить, что на вра­ща­тель­ные сте­пе­ни сво­бо­ды будет при­хо­дить­ся треть всей энер­гии в со­сто­я­нии тер­мо­ди­на­ми­че­ско­го рав­но­ве­сия, а на по­сту­па­тель­ные  — две трети:

ответ:

2)  При мед­лен­ном рас­ши­ре­нии пла­не­ты про­ис­хо­дит адиа­ба­ти­че­ское рас­ши­ре­ние газа шайб. Так как газ иде­аль­ный, для него спра­вед­ли­во урав­не­ние Мен­де­ле­е­ва-Клай­пе­ро­на в виде:

где S  — это пло­щадь пла­не­ты (ана­лог объёма для трёхмер­но­го иде­аль­но­го газа), σ — сила на еди­ни­цу длины (ана­лог дав­ле­ния  — силы на еди­ни­цу пло­ща­ди), а тем­пе­ра­ту­ра опре­де­ля­ет­ся как сред­няя энер­гия, при­хо­дя­ща­я­ся на 1 сте­пень сво­бо­ды газа:

Здесь k_Б  — кон­стан­та Больц­ма­на. Для адиа­ба­ти­че­ско­го про­цес­са над иде­аль­ным газом спра­вед­ли­ва фор­му­ла адиа­ба­ты в виде

(для иде­аль­но­го трёхмер­но­го газа фор­му­ла была бы В этой фор­му­ле γ — по­ка­за­тель адиа­ба­ты газа. Он равен где i  — ко­ли­че­ство сте­пе­ней сво­бо­ды одной шайбы, в нашем слу­чае Объ­еди­няя фор­му­лы (3) и фор­му­лу (4), счи­тая по­ка­за­тель адиа­ба­ты для нашей за­да­чи, по­лу­ча­ем усло­вие на не­из­мен­ность сле­ду­ю­щей ве­ли­чи­ны:

Пло­щадь пла­не­ты про­пор­ци­о­наль­на квад­ра­ту её ра­ди­у­са Под­став­ляя эту за­ви­си­мость в урав­не­ние (5), по­лу­ча­ем

Из этого урав­не­ние на­хо­дим от­но­ше­ние сред­ней ки­не­ти­че­ской энер­гии по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния после рас­ши­ре­ния к энер­гии до:

3)  Если пла­не­та рас­ши­ря­ет­ся быст­ро, то такой про­цесс не­рав­но­вес­ный, а по­то­му за­пи­сы­вать для него урав­не­ние адиа­ба­ты нель­зя (в своём вы­во­де оно под­ра­зу­ме­ва­ет, что про­цесс ква­зи­ста­ци­о­нар­ный, что зна­чит, что про­цесс про­хо­дит так мед­лен­но, что в каж­дый мо­мент вре­ме­ни можно счи­тать газ на­хо­дя­щим­ся в тер­мо­ди­на­ми­че­ском рав­но­ве­сии).

Можно, од­на­ко, рас­смот­реть дру­гие не­из­ме­ня­ю­щи­е­ся ве­ли­чи­ны. Оши­боч­но было бы счи­тать, что дан­ной ве­ли­чи­ной вы­сту­па­ет энер­гия, так как су­ще­ству­ет сила, со­вер­ша­ю­щая ра­бо­ту над газом  — сила ре­ак­ции пла­не­ты.

Со­хра­ня­ю­щи­ми­ся ве­ли­чи­на­ми яв­ля­ют­ся мо­мен­ты им­пуль­са по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния каж­дой шайбы от­но­си­тель­но цен­тра пла­не­ты. Дей­стви­тель­но, на каж­дую шайбу дей­ству­ет две внеш­ние по от­но­ше­нию к газу силы: сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции пла­не­ты, на­прав­ле­ния ко­то­рых про­хо­дят через центр пла­не­ты. Если u_i  — ско­рость не­ко­то­рой шайбы № i, то мо­мент им­пуль­са е по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния равен

Если ра­ди­ус пла­не­ты уве­ли­чил­ся в 2 раза, то ско­рость по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния каж­дой шайбы упала в 2 раза. Зна­чит, ки­не­ти­че­ская энер­гия к концу про­цес­са рас­ши­ре­ния упала в 4 раза:

Ответ:

Сна­ча­ла объ­яс­ним сам эф­фект фо­ку­си­ров­ки. Сразу после того, как кожу на­тя­ну­ли на коль­цо ба­ра­ба­на, кожа об­ра­зо­вы­ва­ла плос­кую по­верх­ность. По­сколь­ку кожа рас­тя­ну­та од­но­род­но, то в этом со­сто­я­нии у неё везде одно и то же по­верх­ност­ное на­тя­же­ние σ, ко­то­рое есть сила, тре­бу­е­мая для удер­жа­ния вме­сте краев ко­рот­ко­го пря­мо­ли­ней­но­го раз­ре­за на еди­ни­цу длины раз­ре­за. После же того, как дав­ле­ние в ба­ра­ба­не по­ни­зи­ли, на­тя­ну­тая кожа из­ме­ни­ла свою форму, бу­дучи эла­стич­ной. По­сколь­ку раз­ни­ца дав­ле­ний по раз­ные сто­ро­ны кожи везде одна и та же, и од­но­род­но её по­верх­ност­ное на­тя­же­ние, то кожа долж­на при­нять форму эле­мен­та сферы ра­ди­у­са R. Те­перь всё го­то­во для того, чтобы ска­зать, что от­ра­же­ние света от ме­тал­ли­зи­ро­ван­ной кожи про­ис­хо­дит как от сфе­ри­че­ско­го зер­ка­ла. Фо­ку­си­ров­ка па­рал­лель­но­го пучка про­ис­хо­дит на рас­сто­я­нии Фор­му­ла Ла­пла­са поз­во­ля­ет найти ра­ди­ус сферы,

По­верх­ност­ное на­тя­же­ние кожи свя­жем с силой сжа­тия коль­ца по той же фор­му­ле Лаплаca:

В ре­зуль­та­те по­лу­ча­ем, что

Наша мо­дель ра­бо­та­ет при том усло­вии, если сте­пень рас­тя­же­ния кожи до и после от­кач­ки дав­ле­ния из­ме­ни­лась не­зна­чи­тель­но по срав­не­нию с уже име­ю­щим­ся рас­тя­же­ни­ем, до­стиг­ну­тым после того, как кожа была на­тя­ну­та на коль­цо. Это уже име­ю­ще­е­ся рас­тя­же­ние опре­де­ля­ет­ся па­ра­мет­ром Про­ве­рим это усло­вие. Угол, под ко­то­рым видно коль­цо ба­ра­ба­на из цен­тра сферы (эле­мент ко­то­рой об­ра­зу­ет кожа) равен  рад. Сте­пень до­пол­ни­тель­но­го рас­тя­же­ния оце­ни­ва­ет­ся как раз­ни­ца длин хорды и дуги, на­тя­ну­тых на этот угол, делённая на одну из этих длин:

Таким об­ра­зом, дей­стви­тель­но, до­пол­ни­тель­но рас­тя­же­ние мало по срав­не­нию с ис­ход­ным рас­тя­же­ни­ем кожи.

Ответ: 1,5 м.

В нор­маль­ном ре­жи­ме пруд не на­пол­ня­ет­ся. Объём воды, по­сту­па­ю­щей в еди­ни­цу вре­ме­ни в пруд (Q), равен объёму, вы­те­ка­ю­ще­му за еди­ни­цу вре­ме­ни из него:

При на­пол­не­нии объём, вы­те­ка­ю­щий из пруда в еди­ни­цу вре­ме­ни (Q₂) равен трети от вы­те­ка­ю­ще­го в обыч­ном ре­жи­ме (Q_c):

За время суток водой за­пол­ня­ет­ся (V  — объём пруда). Этот объём равен раз­но­сти объёмов вте­ка­ю­щей и вы­те­ка­ю­щей за это время воды:

После пе­ре­кры­тия стока

Раз­де­лив пер­вое вы­ра­же­ние на вто­рое, по­лу­ча­ем:

На­хо­дим суток.

Ответ:4 суток или 4.

В мо­мент вы­ле­та по­ли­цей­ско­го ско­рость ра­ке­ты гра­би­те­лей была Ра­ке­та гра­би­те­лей за время вы­стре­ла прой­дет путь путь сна­ря­да Ис­клю­чив x, по­лу­чим

Ответ: 450 м/с или 450.

Пред­по­ло­жим, что ис­ко­мые рас­сто­я­ния x₁, x₂. Со­про­тив­ле­ние про­во­да В пер­вом слу­чае

во вто­ром

Эк­ви­ва­лент­ная схема в тре­тьем слу­чае:

Най­дем из урав­не­ния (1) зна­че­ние и под­ста­вим его в (2) и (3):

Ре­ша­ем урав­не­ния и на­хо­дим

Ответ: 10 м; 70 м или 10; 70.

Дав­ле­ние на дне со­су­да равно дав­ле­нию стол­ба жид­ко­сти вы­со­той h₁ в труб­ке

Объем ко­ну­са, за­пол­нен­но­го CCl₄ со­став­ля­ет пол­но­го объ­е­ма жид­ко­сти.

После ее сме­ши­ва­ния плот­ность эмуль­сии а объем жид­ко­сти не из­ме­нит­ся. Дав­ле­ние стол­ба жид­ко­сти вы­со­той h₂ в труб­ке будет урав­но­ве­ши­вать­ся дав­ле­ни­ем эмуль­сии

Уро­вень в труб­ке по­ни­зит­ся на

Ответ: 1,40 см или 1,40.

Обо­зна­чим теп­ло­ем­кость бун­ке­ра с пес­ком C, теп­ло­ем­кость одной пор­ции c' и за­пи­шем закон со­хра­не­ния энер­гии после па­де­ния каж­дой пор­ции. Каж­дый раз пол­ное вы­де­лив­ше­е­ся тепло равно по­тен­ци­аль­ной энер­гии, ко­то­рая была за­па­се­на в си­сте­ме. По­тен­ци­аль­ная энер­гия пер­вой пор­ции вто­рой тре­тьей

Или, пре­об­ра­зуя:

Вы­чи­тая из каж­до­го сле­ду­ю­ще­го урав­не­ния преды­ду­щее, ис­клю­ча­ем по­лу­ча­ем:

от­ку­да вы­ра­жа­ем не­из­вест­ное по­вы­ше­ние тем­пе­ра­ту­ры или

Ответ: 0,0129 К или 0,0129.

До­пу­стим, что на ше­ро­хо­ва­том участ­ке над телом со­вер­ша­ет­ся ра­бо­та A₁, а на глад­ком  — A₂. B таком слу­чае и Ис­ко­мая ве­ли­чи­на

В итоге

Ответ: 5 м/с или 5.

Т. к. вся жид­кость по­па­да­ет в одну точку, зна­чит, ско­рость вы­ле­та жид­ко­сти из иглы по­сто­ян­на, обо­зна­чим её u. Пусть время полёта ка­пель­ки жид­ко­сти равно t. Тогда и от­ку­да

Объем вы­тек­шей из иглы шпри­ца за время жид­ко­сти где   — пло­щадь се­че­ния иглы шпри­ца. Он равен объ­е­му жид­ко­сти в шпри­це Ис­ко­мое время дви­же­ния порш­ня

Ответ: 2,8 с или 2,8.

На груз дей­ству­ет удво­ен­ная сила на­тя­же­ния ве­рев­ки 2T, впра­во и ана­ло­гич­ная сила T влево (см. рис.), и он ис­пы­ты­ва­ет уско­ре­ние Сила Далее можно рас­суж­дать двумя пу­тя­ми. По­сколь­ку ре­зуль­та­том ра­бо­ты сил яв­ля­ет­ся толь­ко ки­не­ти­че­ская энер­гия груза, то при пе­ре­ме­ще­нии груза на x и конца ве­рев­ки на y ра­бо­та от­ку­да К этому же вы­во­ду можно прий­ти из усло­вия не­из­мен­но­сти длины ве­рев­ки. Из со­от­но­ше­ния пе­ре­ме­ще­ний сле­ду­ет, что ско­рость и уско­ре­ние конца ве­рев­ки в 2 раза боль­ше ско­ро­сти и уско­ре­ния груза. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое уско­ре­ние

Ответ: 4 м/c или 4.

Рас­смот­рим не­ко­то­рый мо­мент вре­ме­ни, когда масса сви­са­ю­щей части равна m₂, а масса го­ри­зон­таль­но­го участ­ка  — m₁. На­тя­же­ние це­поч­ки T яв­ля­ет­ся функ­ци­ей от m₂ и будет мак­си­маль­ным в точке ее пе­ре­ги­ба. Так как цепь не­рас­тя­жи­ма, то уско­ре­ния обоих ча­стей равны. Вто­рой закон Нью­то­на для каж­дой из ча­стей це­поч­ки, а также урав­не­ние, свя­зы­ва­ю­щее массы m₁ и m₂ с общей мас­сой це­поч­ки m, дают си­сте­му урав­не­ний:

Решая си­сте­му урав­не­ний, на­хо­дим, что Функ­ция T(m₂) есть па­ра­бо­ла, у ко­то­рой ветви вниз. По­это­му мак­си­маль­ное зна­че­ние на­тя­же­ния це­поч­ки на­блю­да­ет­ся при массе сви­са­ю­щей части, рав­ной Под­став­ляя это зна­че­ние в урав­не­ние для T, на­хо­дим ис­ко­мую ве­ли­чи­ну

Ответ: 0,25.